八王子の塾が教える1次方程式の解き方と計算問題

ある数に25をかけたら100になりました。ある数はいくつですか。
□ × 25 = 100

小学校では求めたい数を□で表して式を作って求めたい数を計算しました。
中学校では□の代わりに文字xやaを使って求めたい数を計算していきます。
この単元では、文字が含まれた式から文字の値を求める方法について勉強していきます。

方程式の解き方

1.方程式の解

2つの式が等号(=)でつながれているものを等式、等式の中に文字(未知の数)が含まれているものを方程式といいます。その中でも特に文字が累乗の形になっていない方程式のことを1次方程式といいます。ここでは1次方程式から文字の値を求める方法について学んでいきます。
方程式の解き方1

等号より左にある式のことを左辺、右にある式のことを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。
方程式の解き方2

方程式で使われている文字にいろいろな値を代入してみると等式を成り立たせる特定の値が存在します。
等式を成立させるこの特定の値のことを方程式の解といいます。
上の方程式の解は x = 4 になります。

例題
-1、0、1、2のうち方程式 8 x-1 = 5 x+5 の解であるものを選べ。考え方
それぞれの値を方程式の左辺、右辺のxに代入して等式が成立するものを探す。答
x =2

2.等式の性質を利用した方程式の解き方

方程式の解を求めることを「方程式を解く」といいます。
方程式を解くには等式の性質を利用します。
等式の性質を利用して(文字)=(数値)という形を作ることによって方程式を解くことができます。

等式の性質
(1) 等式の両辺に同じ数を足しても等式は成り立つ。
A=Bならば A+C = B+C(2) 等式の両辺から同じ数を引いても等式は成り立つ。
A=Bならば A-C = B-C(3) 等式の両辺に同じ数を掛けても等式は成り立つ。
A=Bならば A×C = B×C(4) 等式の両辺を同じ数で割っても等式は成り立つ。
A=Bならば A÷C = B÷C (ただしC≠0)

例題
等式の性質を利用して次の方程式を解け。
(1) 4 x+3 = 15
(2) -3 a-1 = -22
方程式の解き方3
(4) 7 a-12 = 6 a+18答
(1) 4 x+3 = 15
両辺から3を引く
4 x+3-3 = 15-3
4 x = 12
両辺を4で割る
4 x÷4 = 12÷4
x = 3(2) -3 a-1 = -22
両辺に1を足す
-3 a-1+1 = -22+1
-3 a = -21
両辺を-3で割る
-3 a÷(-3) = -21÷(-3)
a = 7方程式の解き方4

(4) 7 a-12 = 6 a+18
両辺に12を足す
7 a-12+12 = 6 a+18+12
7 a = 6 a+30
両辺から6 aを引く
7 a-6 a = 6 a+30-6 a
a = 30

移項を使った方程式の解き方

1次方程式を解くときにはまず一方の辺(主に左辺)に文字の項を、他方の辺(主に右辺)に数字の項を集めます。
このときによく使われるのが移項です。
移項とは等式の一方の辺にある項を符号を変えて他方の辺に移すことです。

移項を利用して1次方程式 x+7 = 21を解くと次のようになります。
x+7 = 21
左辺の7を右辺に移項する
x = 21-7
= 14

上の解き方の「左辺の7を右辺に移項する」ところは等式の性質を利用して「等式の両辺から7を引く」ことと同じ結果になります。
「右辺から左辺に、左辺から右辺に項を移動させるときには符号をプラスからマイナスに、マイナスからプラスに変化させればいい」と覚えておいてください。

ここで1次方程式を解く手順をまとめておきます。

(1)一方の辺(一般的には左辺)に文字の項だけを、
他方の辺(一般的には右辺)には数字の項だけを集める。

(2)両辺をそれぞれ整理して
求めたい文字の項のある辺(一般的には左辺)の項の数を1つにする。

(3)求めたい文字の項の係数で両辺を除算する。

例題
移項を利用して次の方程式を解け。
(1) 8 x-11 = 13
(2) -12 a+17 = 6 a-19答
(1) 8 x-11 = 13
左辺の-11を右辺に移項する
8 x = 13+11
8 x = 24
両辺を8で割る
8 x÷8 = 24÷8
x = 3(2) -12 a+17 = 6 a-19
左辺の17を右辺に、
右辺の6 aを左辺に移項する
-12 a-6 a = -19-17
-18 a = -36
両辺を-18で割る
a = 2

様々な方程式

1.カッコを利用した方程式

すべての1次方程式は整理するとax = b(a、bは定数でa≠0)の形になります。
どんなに複雑に見える式でも等式の性質や移項を使って整理していけばこのようなシンプルな形になるはずです。

カッコのある方程式はまず分配の法則などを使ってカッコをはずしてから1次方程式を解く手順に従って計算していきます。

例題
次の方程式を解け。
(1) 6 x-(2 x-5) = 13
(2) 3(3 a+5)-4(2 a-7) = 30
(3) 4(5 x-1)+18 = -2(3 x+6)考え方
1)カッコをはずす→2)移項する→3)両辺を整理する の手順で解く。答
(1) 6 x-(2 x-5) = 13
6 x-2 x+5 = 13
6 x-2 x = 13-5
4 x = 8
x = 2(2) 3(3 a+5)-4(2 a-7) = 30
9 a+15-8 a+28 = 30
9 a-8 a = 30-15-28
a = -13(3) 4(5 x-1)+18 = -2(3 x+6)
20 x-4+18 = -6 x-12
20 x+6 x =-12+4-18
26 x =-26
x =-1

2.係数で小数が出てくる方程式

係数に小数を含む方程式は計算が複雑になって計算間違いも発生しやすいものです。
そこでこのような方程式では計算をしやすくするために等式の性質を利用して係数を整数にしてから方程式を解くことを考えます。

係数を小数から整数にするには「等式の両辺に同じ数を掛けても等式は成り立つ」という等式の性質を利用して両辺に10や100などを掛けます。

例題
次の方程式を解け。
(1) 0.4 x-1.1 = 0.5
(2) 3-1.2 a = -2.3 a-0.3
(3) -0.25 x+1.3 = 0.3考え方
方程式中のすべての係数を整数にするには両辺にいくら掛ければいいかを考える。
掛ける数が決まったら両辺のすべての項にその値を掛けることを忘れずに。答
(1) 0.4 x-1.1 = 0.5
両辺に10を掛ける。
4 x-11 = 5
4 x = 5+11
= 16
x = 4(2) 3-1.2 a = -2.3 a-0.3
両辺に10を掛ける
30-12 a = -23 a-3
-12 a+23 a = -3-30
11 a = -33
a = -3(3) -0.25 x+1.3= 0.3
両辺に100を掛ける
-25 x+130 = 30
-25 x = 30-130
= -100
x =4

3.係数で分数が出てくる方程式

係数に分数を含む方程式もまた「等式の両辺に同じ数を掛けても等式は成り立つ」という等式の性質を利用して係数を整数にしてから方程式を解くことを考えます。
複数の分数の分母の最小公倍数を両辺に掛けることによってすべての係数を整数にすることができます。

例題
次の方程式を解け。
方程式の解き方5考え方
分母の最小公倍数を求めて両辺のすべての項にその値を掛ける。答
方程式の解き方6

1次方程式の解き方と計算問題 まとめ

この単元では次のことを勉強しました。

◎方程式に関する言葉の確認
等式:2つの式が等号(=)でつながれているもの
方程式:等式の中に文字(未知の数)が含まれているもの
1次方程式:使われている文字が累乗の形になっていない方程式
左辺:等式で等号より左にある式
右辺:等式で等号より右にある式
両辺:左辺と右辺

◎1次方程式の解き方 基本
・方程式を解くには(文字)=(数値)という形に変形する。
・等式の性質を利用する
(1) 等式の両辺に同じ数を足しても等式は成り立つ。
(2) 等式の両辺から同じ数を引いても等式は成り立つ。
(3) 等式の両辺に同じ数を掛けても等式は成り立つ。
(4) 等式の両辺を同じ数で割っても等式は成り立つ。
・移項を利用する
移項:等式の一方の辺にある項を符号を変えて他方の辺に移すこと

◎1次方程式の解き方 複雑な1次方程式
・カッコを使った方程式の解き方
まず分配の法則などを使ってカッコをはずしてから方程式を整理して解く。
・係数に小数を含む方程式の解き方
両辺に10や100を掛けて小数を整数にしてから方程式を解く。
・係数に分数を含む方程式の解き方
両辺に分母の最小公倍数を掛けて小数を整数にしてから方程式を解く。


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